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Nombres premiers jumeaux, cousins et autres…

Les nombres premiers sont des entiers admettant exactement deux diviseurs distincts entiers et positifs: 1 et le nombre premier lui-même.

Les plus petits nombres premiers sont 2 et 3 et ne sont séparés que d'une unité. À partir de 3, le plus petit écart entre deux nombres premiers est 2, c'est l'écart qui sépare 3 de 5, 5 de 7, 11 de 13 etc.

Ces nombres premiers qui ne diffèrent que de 2, sont appelés nombres jumeaux.

La conjecture des nombres jumeaux propose qu'il y a une infinité de nombres jumeaux. Selon certains, ce serait Euclide qui au 3e siècle avant J.C. aurait formulé pour la première fois cette conjecture, ce qui en ferait la plus ancienne conjecture mathématique pas encore prouvée. En effet, Euclide a le premier formulé la notion du nombre premier, et prouvé qu'il y en a une infinité. Sa très élégante démonstration est la proposition 20 du 9e volume des Éléments que l'on peut consulter en ligne sur la page 271 de ce pdf. Par contre je n'ai pas trouvé dans les Éléments la conjecture des nombres jumeaux.

La plupart des auteurs s'accordent pour considérer que c'est  Alphonse de Polignac le premier à formuler une forme plus générale de la conjecture dans une publication de 1849 : dans les Compte Rendus de l’Académie des Sciences il a publié un article sur la théorie des nombres où l'on trouve ce qui a été connu plus tard comme la conjecture de Polignac :

"Tout nombre pair est égal à la différence de deux nombres premiers consécutifs d'une infinité de manières"

Si on considère une différence de 2 on obtient les nombres premiers jumeaux (comme 11 et 13). Avec une différence de 4, on obtient les nombres premiers cousins (comme 13 et 17), avec une différence de 6 les nombres premiers sexy (comme 11 et 17). Et "l'infinité de manières", implique qu'il y a une infinité de ces paires de nombres premiers, ce qui pour une différence de 2 nous ramène à la conjecture de nombres jumeaux.

La conjecture de Polignac est un cas général de la conjecture des nombres jumeaux, mais est en même temps un cas particulier de la conjecture de Dickson, (formulée par le mathématicien Américain Leonard Eugene Dickson en 1904), qui couvre aussi d'autres nombres premiers particuliers, tels que les nombres premiers de Sophie Germain, nombres premiers G tels que 2*G+1 est aussi premier.

Ces nombres ont pris leur nom de la mathématicienne Marie-Sophie Germain qui les as étudiés en premier. En particulier, Sophie Germain a prouvé en 1825 que le théorème de Fermat est vérifié pour ces nombres. Par exemple 89 est un nombre premier de Sophie Germain puisque 2*89+1=179 est aussi un nombre premier.

Les nombres premiers du type 2*G+1 (où G est donc un nombre premier de Sophie Germain) sont nommé “nombres premiers sûrs” (179 est donc un nombre premier sûr).